问题描述:

$$ \sum_{t=0}^{n - 1} \frac{(t+a)!}{t!} = \text{?} $$

使用wolframalpha,可以见结果为:

$$ \sum_{t=0}^{n - 1} \frac{(a + t)!}{t!} = \frac{n \times (a + n)!}{(a + 1) \times n!} $$


这是一个涉及阶乘求和的问题,但问题同时和分式搅合在一块,比较麻烦。一开始,我回想起高中写的裂项相消,但尝试许久未果,于是便转向求助群里的dalao们。

结果非常amazing啊,瞬间达成共识,裂项,淦就完了。(结果我淦不出来)

眼看dalao们不再关注这个问题,我就顺便逛逛zhihu,准备发个求助帖,然后突然就看见了一个询问$\Gamma$函数欧拉-高斯公式的问题。

众所周知,$\Gamma$函数满足:$\Gamma(n + 1) = n!$,那么这个问题可以换成$\Gamma$函数来写吗?

转换思路

$$ \sum_{t=1}^{n} \frac{\Gamma(t+a)}{\Gamma{(t)}}=\frac{n\Gamma(a+n+1)}{(a+1)\Gamma{(n+1)}} $$

搜索过程中,我发现等价的问题在2013年就有人提问过,问题链接。没看下面回答之前还挺高兴的,以为这个问题就到此为止了,结果看完人都不好了,给的居然是归纳证明?(证明?谁要证明了?哦,题主啊,那没事了。)

转化成$\Gamma$函数表示后有什么好处呢?个人认为一个很重要的点就是引入了积分。当然,很多时候,无端地引入一些复杂的元素并非明智之举。

积分和求和的顺序转换是解决许多问题的妙手,特别是像这类带着$x^n$的。探索证明时,我发现自己无法将式子转换成$\sum_{t}\Gamma(t)$的形式。那会不会是$\mathrm{B}$函数呢?这两个家伙可是有着莫大的关系!


要解决这个问题,我们需要先了解$\Gamma$函数和$\mathrm{B}$函数的一些重要性质。

  • $\Gamma(n + 1) = n\Gamma(n)$
  • $\mathrm{B}(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}=\int_{0}^{1}{t^{x-1}(1-t)^{y-1}}\mathrm{d} t$

下面是证明:

$$ \begin{aligned} \sum_{t=1}^{n} \frac{\Gamma(t+a)}{\Gamma{(t)}} &= \sum_{t=1}^{n} \frac{\mathrm{B}(t+a,-a)}{\Gamma{(-a)}} \\ &= \frac{1}{\Gamma{(-a)}}\sum_{t=1}^{n}\int_{0}^{1}x^{t+a-1}(1-x)^{-a-1}\mathrm{d} x\\ &= \frac{1}{\Gamma{(-a)}}\int_{0}^{1}\left(\sum_{i=a}^{a+n-1}x^{i}\right)(1-x)^{-a-1}\mathrm{d} x\\ &= \frac{1}{\Gamma{(-a)}}\int_{0}^{1}(x^a-x^{a+n})(1-x)^{-a-2}\mathrm{d} x\\ &= \frac{1}{\Gamma{(-a)}}\left[\mathrm{B}(a+1,-a-1)-\mathrm{B}(a+n+1,-a-1)\right]\\ &= \frac{\Gamma{(-a-1)}}{\Gamma{(-a)}}\times\left[\frac{\Gamma{(a+1)}}{\Gamma{(0)}} - \frac{\Gamma{(a+n+1)}}{\Gamma{(n)}}\right]\\ &= \frac{\Gamma{(a+n+1)}}{(a+1)\Gamma{(n)}} = \frac{n\Gamma{(a+n+1)}}{(a+1)\Gamma{(n+1)}} \end{aligned} $$

你可能会想,怎么这个人直接就最后一步了啊,$\frac{\Gamma{(a+1)}}{\Gamma{(0)}}$去哪了?

最后一块积木

$$ \frac{\Gamma(a+1)}{\Gamma(0)}=0 \quad\text{?} $$

这里会涉及另一个问题,你可能会觉得$\Gamma(z)$的定义告诉我们$\Re(z)>0$,这里的$\Gamma(0)$不应该有啊!

事实如此吗?其实应该说,$\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}\mathrm{d}t$的定义只能满足$\Re(z)>0$的复数。

通过解析延拓,我们可以给出$\Gamma(z)$的其它定义,使得其能定义在整个复平面。由于会涉及一些复变的知识点,这里不做展开。

https://zh.wikipedia.org/zh-hk/%CE%93%E5%87%BD%E6%95%B0

余元公式

$$ \Gamma(z)\Gamma(z-1)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad(0<\Re(z)<1) $$

由于$\sin{\pi z}$在整个复平面由解析延拓,我们可以定义$\Re(z)<1$时:

$$ \Gamma(z)=\frac{\pi}{\Gamma(z-1)\sin{\pi z}} $$

容易知道,$\frac{\Gamma(a+1)}{\Gamma(0)}=0$。