上次写题用到了斯特灵公式,然后就被老师喷了 $\dots$

u1s1活该被喷,虽然斯特灵公式我一直在用,但是从来没有证过

为了以后大胆地用斯特灵公式,这里简单写一个证明。

$Proof$:

$$ Stirling \\ formula: \qquad n! \thickapprox \sqrt{2 \pi n} \left ( \frac{n}{e} \right )^{n} $$

第一眼看见,真的被惊艳到了。

这是一个很好的对阶乘的渐进估计,事实上,就算是对广义阶乘函数($\Gamma$)也很管用。 $$ \newcommand{\ud}{\mathrm{d}} Gamma \ \ Function: \qquad \Gamma{(x)} = \int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-t} \ \ud t $$ 为了更好地研究阶乘函数,我们将其写成如下形式: $$ \newcommand{\ud}{\mathrm{d}} x! = \Gamma (x+1) = \int_{0}^{\infty} {t^{x}e^{-t}} \ \ud t = \int_{0}^{\infty} {e^{x \ln t - t}} \\ud t $$ 我们换一下元, $t = (s+1)x$ , $$ \newcommand{\ud}{\mathrm{d}} \begin{eqnarray} x! & = & \int_{-1}^{\infty} {e^{x \ln(s+1) + x \ln x - x(s+1)}} x \ \ud s \\ & = & \frac{x^{x+1}}{e^{x}} \int_{-1}^{\infty} {e^{x\left ( \ln(s+1) - s\right )}} \ \ud s \\ & = & \frac{x^{x+1}}{e^{x}} \int_{-1}^{\infty} {e^{x\left ( -s + \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n-1}}{n} s^{n}} \right )}} \ \ud s \\ & \thickapprox & \frac{x^{x+1}}{e^{x}} \int_{-\infty}^{+\infty} {e^{-x \frac{s^2}{2}}} \ \ud s \\ & = & \frac{x^{x+1}}{e^{x}} \sqrt{\frac{2}{x}} \int_{-\infty}^{+\infty} {e^{-u^2}} \ \ud u \\ & = & \frac{x^{x}}{e^{x}} \sqrt{2 \pi x} \end{eqnarray} $$

使用 Laplace’s method

$Wiki$上关于斯特灵公式的证明用到了$Laplace’s \\ method$ $$ \newcommand{\ud}{\mathrm{d}} \int_{a}^{b} {e^{M \ f(x)}} \ud x \thickapprox e^{M f(x_0)} \sqrt{\frac{2\pi}{M|f’’(x_0)|}} \quad as \quad M \rightarrow \infty $$ 这里不作介绍,请移步$Wiki$

使用形式

一般用到的是更为精确一点的形式:

$$ n! = \sqrt{2 \pi n} \left ( \frac{n}{e} \right )^{n} (1 + \frac{1}{12n} + o(\frac{1}{n})) $$