$$\textrm{Stirling formula: } n! \thickapprox \sqrt{2 \pi n} \left ( \frac{n}{e} \right )^{n}$$

上次写题用到了斯特灵公式,然后就被老师“喷”了……

u1s1活该被喷,虽然斯特灵公式我一直在用,但是从来没有证过。为了以后大胆地用斯特灵公式,这里简单写一个证明。

简要证明

第一眼看见,真的被惊艳到了。

这是一个很好的对阶乘的渐进估计,事实上,就算是对广义阶乘函数($\Gamma$)也很管用。

$$\textrm{Gamma Function: }\Gamma{(x)} = \int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-t} \mathrm{d} t$$ 为了更好地研究阶乘函数,我们将其写成如下形式:

$$x! = \Gamma (x+1) = \int_{0}^{\infty} {t^{x}e^{-t}} \mathrm{d} t = \int_{0}^{\infty} {e^{x \ln t - t}} \mathrm{d} t$$ 我们换一下元, $t = (s+1)x$ ,

$$ \begin{aligned} x! & = \int_{-1}^{\infty} {e^{x \ln(s+1) + x \ln x - x(s+1)}} x \ \mathrm{d} s \newline & = \frac{x^{x+1}}{e^{x}} \int_{-1}^{\infty} {e^{x\left ( \ln(s+1) - s\right )}} \ \mathrm{d} s \newline & = \frac{x^{x+1}}{e^{x}} \int_{-1}^{\infty} {e^{x\left ( -s + \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n-1}}{n} s^{n}} \right )}} \ \mathrm{d} s \newline & \thickapprox \frac{x^{x+1}}{e^{x}} \int_{-\infty}^{+\infty} {e^{-x \frac{s^2}{2}}} \ \mathrm{d} s \newline & = \frac{x^{x+1}}{e^{x}} \sqrt{\frac{2}{x}} \int_{-\infty}^{+\infty} {e^{-u^2}} \ \mathrm{d} u \newline & = \frac{x^{x}}{e^{x}} \sqrt{2 \pi x} \end{aligned} $$

使用 Laplace’s method

$Wiki$上关于斯特灵公式的证明用到了$\text{Laplace’s method}$

$$\int_{a}^{b} {e^{M \ f(x)}} \mathrm{d} x \thickapprox e^{M f(x_0)} \sqrt{\frac{2\pi}{M|f’’(x_0)|}} \quad as \quad M \rightarrow \infty$$

这里不作介绍(不太会,嘤嘤嘤),请移步$Wiki$。

使用形式

一般用到的是更为精确一点的形式:

$$n! = \sqrt{2 \pi n} \left ( \frac{n}{e} \right )^{n} \left(1 + \frac{1}{12n} + o(\frac{1}{n}) \right)$$