我们要解决的问题:

  1. 边长的数值满足什么条件时,能构成一个多边形?
  2. 取到最大面积的情况下,该多边形有何特征?
  3. 最大面积的表达式是什么?
  4. 代码实现。

当然,到你看到这句话为止,这个问题我还没解决 2333


Q1、构成多边形的边的条件

我们从三角形出发。任意两边之和大于第三边是构成三角形的三边的充要条件。

猜测:任意一条边小于其它各边的和是构成该多边形的充要条件。

太显了(QAQ 不会证充分,但感觉是对的)


Q2、最大面积下,多边形的特征

我们从三角形出发……三角形有个der的最大面积

(已知三边的三角形虽然不存在最大面积一说,但总能给我们一点启示 比如海伦公式、外接圆……)

首先,很显然,凸 > 凹。

依旧,我们从四边形出发。我们令四边形ABCD的四边分别为 $a$, $b$ ,$c$, $d$, 将其拆分为两个三角形再求面积。

不妨连接BD,令 $A = \alpha, C = \beta$, 则有

$$S_{ABD} = \frac{ad\sin\alpha}{2}, S_{CBD} = \frac{bc\sin\beta}{2}$$

$$S_{ABCD} = S_{ABD}+S_{CBD}= \frac{ad\sin\alpha + bc\sin\beta}{2} $$

由余弦定理知

$$BD^2 = a^2+d^2-2ad\cos\alpha = b^2+c^2-2bc\cos\beta $$

得到

$$(a^2+d^2)-(b^2+c^2) = 2ad\cos\alpha + 2bc\cos\beta $$

稍加计算得到

$$ S_{ABCD}=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})}$$

$$其中, s = \frac{a+b+c+d}{2} $$

也就是著名的 布雷施特奈德公式 。

这时我们也知道了四边形面积的最大值

$$S_{max} = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$$

表达式和海伦公式极其相像,事实上海伦公式为该公式(婆罗摩笈多公式)的$d=0$的特殊情况。同时也不难看出,此时的四边形四顶点共圆。

猜测

任意多边形取到面积最大值的时候,它的顶点共圆,且表达式为 $S_{max}=\sqrt{\prod(s-a_{i})}, s = \frac{\sum a_{i}}{2}$。(公式显然是错的,随便就是一万个反例)

我们来简单证明一下第一个猜测,已知的是:

对于一个边长固定的四边形,在其顶点共圆时取到面积的最大值。

假设 $n$ 边形在取到面积最大值的情况时,顶点不共圆。

在 $n(n\geq4)$ 边形上,取任意不重复的四顶点作为一个四边形的四个顶点。这时, $n$ 边形的面积就被分为两个部分,一是我们取出的四边形的面积,一是取出后的剩余部分。保持剩余部分面积不变,如果取出的四边形四个顶点不共圆,那么根据我们的已知,存在其顶点共圆时四边形面积更大的情况,那么该 $n$ 边形的面积应有更大值,与假设矛盾。

从而,由于取出的四顶点具有任意性,当该 $n$ 边形取最大面积时,各顶点一定共圆。

这里又衍生出一个问题,那就是点序(或者边序)是否对最大面积有影响呢?


Q3、最大面积的表达式

既然猜测的面积公式不成立, 那不如我们再猜一个吧 我们尝试一下从正面直接推导。

假设该 $n$ 边形的边为 $d_i(i = {1,2,…,n})$

令各边(弦)对应的圆心角为 $a_i(i = {1,2,…,n})$,内接圆的半径为 $R$ 。 (未知量)

由于

$$\sum_{i=1}^n{a_i} = 2\pi$$

并且

$$sin(\frac{a_i}{2}) = \frac{d_i}{2R}, 即 a_i = 2\arcsin(\frac{d_i}{2R})$$

我们得到

$$\sum_{i=1}^n{\arcsin{\frac{d_i}{2R}}} = \pi \tag{1}$$

2021-03-23记 又发现一个问题,圆心可能不在多边形内部,方程(1)左侧可能不单调,方程需要重构。

同时,多边形面积为

$$S_n{max} = \sum_{i=1}^n{\frac{d_i}{2}\sqrt{R^2-\frac{d_i^2}{4}}\tag{2}}$$

至此,只要求出 $R$ 的通解就能知道面积的具体表达式了。

(1) 式左侧为关于 R 的单调函数,上一个关于点序的问题就不是问题了

但是…… 要怎么求呢?emmmmmm

令 $k = \frac{1}{2R}$

$$\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n{\arcsin{\frac{d_i}{2R}}} & = & \sum_{i=1}^n{\arcsin(d_ik)} \newline & = & \sum_{i=1}^n\sum_{m=0}^{\infty}{[\frac{(2m)!}{2^{2m}(m!)^2}]\frac{(d_ik)^{2m+1}}{2m+1}} \newline & = & \sum_{m=0}^{\infty}{[\frac{(2m)!}{2^{2m}(m!)^2}]\frac{\sum_{i=1}^n{d_i^{2m+1}}}{2m+1}{k^{2m+1}}} \newline & = & \pi … \end{eqnarray}$$

2021-03-20记 脑阔疼,总之感觉是个高次方程

或者,(1)两侧对 $R$ 求导

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}{\frac{-\frac{d_i}{2R^2}}{\sqrt{1-(\frac{d_i}{2R})^2}}} = 0 \newline \sum_{i=1}^{n}{\frac{d_i}{\sqrt{4R^2-d_i^2}}} = 0 \end{aligned}$$

2021-03-21记 无解?!可能要引入复数了 先搁着吧

这个求导应该有问题,对于确定的 $d_i$ 数组,$R$ 应为确值而非变量,对 $R$ 求导之后出现的问题,很可能就是因为我们在求导过程中认为 $R$ 可变,而认为 $d_i$ 为常数。

一个新的思路

由于

$$i\arcsin{x} = sh^{-1}{ix}$$

得到

$$\arcsin{\frac{d_m}{2R}} = -i\ln{(i\frac{d_m}{2R}+\sqrt{1-\frac{d_m^2}{4R^2}})}$$

所以有

$$\begin{eqnarray} \sum_{m=1}^{n}\arcsin{\frac{d_m}{2R}} & = & \sum_{m=1}^{n}(-i\ln{(i\frac{d_m}{2R}+\sqrt{1-\frac{d_m^2}{4R^2}})} \newline & = & -i\ln({\prod_{m=1}^{n}{(i\frac{d_m}{2R} + \sqrt{1-\frac{d_m^2}{4R^2}})}}) \newline & = & \pi \end{eqnarray}$$

$$\prod_{m=1}^{n}{(i\frac{d_m}{2R} + \sqrt{1-\frac{d_m^2}{4R^2}})} = e^{i\pi} = -1$$

令 $k = \frac{1}{2R}$

$$\prod_{m=1}^{n}{(id_mk + \sqrt{1+(id_mk)^2})} = -1 \newline$$

分奇偶、虚实找到结果

知识水平受限,目前的结论是,最大面积有无通解不确定,还没有结论。

Q4、代码实现