一个关于阶乘比值的求和问题(不严谨做法)

问题描述: $$ \sum_{t=0}^{n - 1} \frac{(t+a)!}{t!} = \text{?} $$ 使用wolframalpha,可以见结果为: $$ \sum_{t=0}^{n - 1} \frac{(a + t)!}{t!} = \frac{n \times (a + n)!}{(a + 1) \times n!} $$ 这是一个涉及阶乘求和的问题,但问题同时和分式搅合在一块,比较麻烦。一开始,我回想起高中写的裂项相消,但尝试许久未果,于是便转向求助群里的dalao们。 结果非常amazing啊,瞬间达成共识,裂项,淦就完了。(结果我淦不出来) 眼看dalao们不再关注这个问题,我就顺便逛逛zhihu,准备发个求助帖,然后突然就看见了一个询问$\Gamma$函数欧拉-高斯公式的问题。 众所周知,$\Gamma$函数满足:$\Gamma(n + 1) = n!$,那么这个问题可以换成$\Gamma$函数来写吗? 转换思路 $$ \sum_{t=1}^{n} \frac{\Gamma(t+a)}{\Gamma{(t)}}=\frac{n\Gamma(a+n+1)}{(a+1)\Gamma{(n+1)}} $$ 搜索过程中,我发现等价的问题在2013年就有人提问过,问题链接。没看下面回答之前还挺高兴的,以为这个问题就到此为止了,结果看完人都不好了,给的居然是归纳证明?(证明?谁要证明了?哦,题主啊,那没事了。) 转化成$\Gamma$函数表示后有什么好处呢?个人认为一个很重要的点就是引入了积分。当然,很多时候,无端地引入一些复杂的元素并非明智之举。 积分和求和的顺序转换是解决许多问题的妙手,特别是像这类带着$x^n$的。探索证明时,我发现自己无法将式子转换成$\sum_{t}\Gamma(t)$的形式。那会不会是$\mathrm{B}$函数呢?这两个家伙可是有着莫大的关系! 要解决这个问题,我们需要先了解$\Gamma$函数和$\mathrm{B}$函数的一些重要性质。 $\Gamma(n + 1) = n\Gamma(n)$ $\mathrm{B}(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}=\int_{0}^{1}{t^{x-1}(1-t)^{y-1}}\mathrm{d} t$ 下面是证明: $$ \begin{aligned} \sum_{t=1}^{n} \frac{\Gamma(t+a)}{\Gamma{(t)}} &= \sum_{t=1}^{n} \frac{\mathrm{B}(t+a,-a)}{\Gamma{(-a)}} \newline &= \frac{1}{\Gamma{(-a)}}\sum_{t=1}^{n}\int_{0}^{1}x^{t+a-1}(1-x)^{-a-1}\mathrm{d} x\newline &= \frac{1}{\Gamma{(-a)}}\int_{0}^{1}\left(\sum_{i=a}^{a+n-1}x^{i}\right)(1-x)^{-a-1}\mathrm{d} x\newline &= \frac{1}{\Gamma{(-a)}}\int_{0}^{1}(x^a-x^{a+n})(1-x)^{-a-2}\mathrm{d} x\newline &= \frac{1}{\Gamma{(-a)}}\left[\mathrm{B}(a+1,-a-1)-\mathrm{B}(a+n+1,-a-1)\right]\newline &= \frac{\Gamma{(-a-1)}}{\Gamma{(-a)}}\times\left[\frac{\Gamma{(a+1)}}{\Gamma{(0)}} - \frac{\Gamma{(a+n+1)}}{\Gamma{(n)}}\right]\newline &= \frac{\Gamma{(a+n+1)}}{(a+1)\Gamma{(n)}} = \frac{n\Gamma{(a+n+1)}}{(a+1)\Gamma{(n+1)}} \end{aligned} $$...

June 5, 2022 · 1 min · Kenshin2438

$V+F-E=2$ 平面图欧拉示性数公式

一直没啥想写的,不过最近又看见一道和欧拉示性数公式相关的思维题,所以萌生出了写这篇博客的想法。 首先是关于平面图欧拉示性数公式的定义: 设$G$是一个连通的平面图,顶点的数目为$V$,边的数目为$E$,面的数目为$F$,则有$$V+F-E=2$$ ...

September 23, 2021 · 1 min · Kenshin2438

三角函数降幂公式 - Power-reduction formulas

先给出全部公式: $$\begin{aligned} & \sin^{2n}{x}=\frac{1}{2^{2n-1}}\left[ \sum_{k=0}^{n-1}{2n \choose k}(-1)^{n-k}\cos{2(n-k)x} + \frac{1}{2}{2n \choose n} \right] \newline & \sin^{2n+1}{x}=\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^{n}{2n+1 \choose k}(-1)^{n-k}\sin{(2n-2k+1)x} \newline & \cos^{2n}{x}=\frac{1}{2^{2n-1}}\left[ \sum_{k=0}^{n-1}{2n \choose k}\cos{2(n-k)x}+\frac{1}{2}{2n \choose n} \right] \newline & \cos^{2n+1}{x}=\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^{n}{2n+1 \choose k}\cos{(2n-2k+1)x} \newline \end{aligned}$$ ...

August 1, 2021 · 1 min · Kenshin2438

斯特灵公式 - Stirling formula

$$\textrm{Stirling formula: } n! \thickapprox \sqrt{2 \pi n} \left ( \frac{n}{e} \right )^{n}$$ 上次写题用到了斯特灵公式,然后就被老师“喷”了…… u1s1活该被喷,虽然斯特灵公式我一直在用,但是从来没有证过。为了以后大胆地用斯特灵公式,这里简单写一个证明。 ...

June 3, 2021 · 1 min · Kenshin2438