Number Theory

贝尔数 $B_n$ 的含义是基数为 $n$ 的集合划分成非空集合的划分数。它满足Touchard同余，对于素数$p$有： $$ \begin{aligned} B_{n+p} & \equiv B_{n+1}+B_{n}\pmod{p} \newline B_{n+p^m} & \equiv B_{n+1}+mB_{n}\pmod{p} \newline \end{aligned} $$ ...

笔者在此并不想涉及过多的组合内容，其一，诸如此类的介绍文章在zhihu和csdn已经大量存在；其二，笔者并无自信将斯特林数的知识点吃透，也不觉得自己能够在这种理解程度下，提供什么特别的内容。 ...

Hash 简介 Hash 的思想很简单，通过某种映射将一个序列或者字符串对应到一个值域较小的值，自然，我们只希望这种映射关系是单射的。 常用的 Hash 函数是一个模意义下的整系数多项式（同余式），例如，对于字符串$S$，定义Hash函数： $$ h(S)=\left(\sum_{i=1}^{|S|}\mathrm{base}^{|S| - i} \times S_i \right) \bmod M $$ 那么，何为 Hash 冲突呢？对于另一个等长的串$T$，满足$T \neq S, h(T)=h(T)$，即： $$ h(T)-h(S) = \left(\sum_{i=1}^{n}\mathrm{base}^{n - i} \times (T_i - S_i) \right) \equiv 0 \pmod{M} $$ 注意到，我们的 Hash 函数中的$\mathrm{base},M$均为自定义的值，显然影响冲突概率的正好是这两数。如果固定模数$M$，随机基数$\mathrm{base}$来讨论这个问题，则只要看$\mathrm{base}\in[1,M)$有多少为该同余式的解。 $M$ 为素数 $\textrm{Lagrange}$定理 $$ f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i\times x^i \equiv 0 \pmod{M} $$ 满足$n>0,a_n \not\equiv 0 \pmod{M},M\in \mathrm{Prime}$，则上同余式最多$n$个解。 证明： 当$n=1$时，一次同余式$a_1x+a_0\equiv 0\pmod{M}$，由于$M\nmid a_1$，显然恰好一个解。 当$n\geq M$结论显然成立。 当$2 \leq n \leq M - 1$时，我们进行反证。假设上式有多余$n$个解（不妨令为$x_0,x_1,\dots,x_k,(k \geq n+1)$，并且$\forall i\neq j, x_i \not\equiv x_j\pmod{M}$） 由于： $$ f(x)-f(x_0)\equiv\sum_{i=0}^{k}a_i(x^i-x_0^i)=(x-x_0)g(x)\pmod{M} $$ 容易知道，此时的$g(x)$为一个$n-1$次多项式，且$[x^{n-1}]g(x)=a_n\not\equiv 0\pmod{M}$。...

$\text{Baby Step/Giant Step Algorithm}$ 用于解决这样一类同余方程的方法 $$a^x \equiv b\pmod c$$ 结合原根的知识还能解决模数有原根的$N$次剩余问题 $$x^n \equiv b\pmod c$$ ...

对于二次剩余式 $$x^2\equiv n\pmod p$$ 其中$p$为奇素数，且$p \nmid n$，求$x$。 ...

$\forall a<m,(a, m)=1$，均有$a^{\varphi(m)}\equiv1\pmod{m}$，于是就有欧拉定理： $$a^n\equiv a^{n \mod \varphi(m)} \pmod{m}$$ 对于$n$取值较大的情况（比如$10^{30000}\mod 13$），欧拉降幂的作用不可忽视，但局限的是必须满足$(a,m)=1$才能有上式恒成立。 由于上述形式流传甚广，读者大抵早已熟记于心，这里便不再赘述。本文的最终目的是介绍另一个适用范围更广的版本，即所谓拓展欧拉定理。 $$a^n\equiv a^{n \mod \varphi(m) + \varphi(m)} \pmod{m} \quad \textrm{if }n \geq \varphi(m)$$ ...

题外话：好像文章有点长，本地调的时候加载目录都掉帧了。虽然一度想删点题目，但思前想后还是一题没删，总感觉每一题都代表了一种典型，实在不好取舍，或许只写推导会好一点，但还是有点怕代码的实现未有较好交代。。。 好了，闲言少叙。 本篇是平时刷的反演题目的解题记录，个人认为这方面的知识点和写题目是有点脱节的，题目要么是纯套路，要么就是有些不太友好的小技巧。 题目来源：Luogu, LibreOJ, HDU等。 ...

logs Update 2021.10.03 增加PN筛 包含有: 线性筛，杜教筛，Min25筛，PN筛，州阁筛 本篇主要用于入门数论中的一些简单的筛法 虽然不是特别全面，但是后面会一步步完善的。 注意：不会对用到的数论函数解释，默认读者对数论有基本认知。 ...

之前介绍Lucas定理时，内容涉及到了中国剩余定理，以及欧拉定理。 后者应该是广为人知的定理（之后也会写拓展欧拉定理的吧），然而前者的名气似乎远有不如。 本篇以证明为主，（不喜欢证明的可以关了）当然也会遵循传统给出板子。 ...

info Update at 2022.1.19 修正FastMod代码来源。 证明和代码分开，可以根据自己的需要跳转。 ...