一类同余方程的解法 - BSGS  [draft]

Baby Step, Giant Step 解决这样一类同余方程的方法 $$a^x \equiv b\pmod c$$ 结合原根的知识还能解决模数有原根的$N$次剩余问题 $$x^n \equiv b\pmod c$$ ...

September 5, 2021 · 2 min · Kenshin2438

二次剩余 - Cipolla/Tonelli-Shanks

对于二次剩余式 $$x^2\equiv n\pmod p$$ 其中$p$为奇素数,且$p \nmid n$,求$x$。 ...

August 30, 2021 · 2 min · Kenshin2438

欧拉定理(数论) 及其拓展 - Extended Euler Theorem

$\forall a<m,(a, m)=1$,均有$a^{\varphi(m)}\equiv1\pmod{m}$,于是就有欧拉定理: $$a^n\equiv a^{n \mod \varphi(m)} \pmod{m}$$ 对于$n$取值较大的情况(比如$10^{30000}\mod 13$),欧拉降幂的作用不可忽视,但局限的是必须满足$(a,m)=1$才能有上式恒成立。 由于上述形式流传甚广,读者大抵早已熟记于心,这里便不再赘述。本文的最终目的是介绍另一个适用范围更广的版本,即所谓拓展欧拉定理。 $$a^n\equiv a^{n \mod \varphi(m) + \varphi(m)} \pmod{m} \quad \textrm{if }n \geq \varphi(m)$$ ...

August 28, 2021 · 3 min · Kenshin2438

莫比乌斯反演问题记录 - Mobius Inversion

题外话:好像文章有点长,本地调的时候加载目录都掉帧了。虽然一度想删点题目,但思前想后还是一题没删,总感觉每一题都代表了一种典型,实在不好取舍,或许只写推导会好一点,但还是有点怕代码的实现未有较好交代。。。 好了,闲言少叙。 本篇是平时刷的反演题目的解题记录,个人认为这方面的知识点和写题目是有点脱节的,题目要么是纯套路,要么就是有些不太友好的小技巧。 题目来源:Luogu, LibreOJ, HDU等。 ...

August 27, 2021 · 16 min · Kenshin2438

筛法 - Sieve  [draft]

info Update 2021.10.03 增加PN筛 包含有: 线性筛,杜教筛,Min25筛,PN筛 TODO: 州阁筛 本篇主要用于入门数论中的一些简单的筛法 虽然不是特别全面,但是后面会一步步完善的。 注意:不会对用到的数论函数解释,默认读者对数论有基本认知。 ...

July 28, 2021 · 13 min · Kenshin2438

孙子剩余定理 - CRT/exCRT  [draft]

之前介绍Lucas定理时,内容涉及到了中国剩余定理,以及欧拉定理。 后者应该是广为人知的定理(之后也会写拓展欧拉定理的吧),然而前者的名气似乎远有不如。 本篇以证明为主,(不喜欢证明的可以关了)当然也会遵循传统给出板子。 ...

July 25, 2021 · 2 min · Kenshin2438

组合数取模 - Lucas/exLucas

info Update at 2022.1.19 修正FastMod代码来源。 证明和代码分开,可以根据自己的需要跳转。 ...

July 24, 2021 · 11 min · Kenshin2438

素性检验 - Miller-Rabin Test

由费马小定理可以知道,如果$p$是一个素数,且$(x, p)=1$,我们可以得到: $$\begin{aligned} x^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \end{aligned}$$ 那么反之,如果有$x$满足$\forall a>1,(a,x)=1,s.t. a^x \equiv 1 \pmod{x}$,这样的$x$一定是素数吗? ...

July 4, 2021 · 4 min · Kenshin2438

三次剩余 - Peralta Method Extension

三次剩余,以及一个可以继续推广至k次剩余的随机算法 ...

July 2, 2021 · 3 min · Kenshin2438