Posts

Hello World 无法忍受hexo的速度，故换到hugo，使用主题为PaperMod。 ...

为何要水这篇博客？因为最近发生了一件令我极其伤心的事——我弄丢了一个网站——在浏览器的收藏夹来回翻了三遍，我才觉察此事。

记录一下LG V510N（LG V50S）刷入crDroid的过程，这里使用的是LG G8X的rom，不过暂时未发现重大bug。事先声明，不算教程哦，任何因为阅读本记录并付诸实践去刷机的行为，其结果都与本文作者无关！

打死我也想不到，写通信电子线路的作业，结果碰到了傅里叶展开，以及一个并不简单但为人所熟知的无穷级数求和问题。当然，利用傅里叶级数的封闭性公式，或许才是本题的最优解……

贝尔数 $B_n$ 的含义是基数为 $n$ 的集合划分成非空集合的划分数。它满足Touchard同余，对于素数$p$有： $$ \begin{aligned} B_{n+p} & \equiv B_{n+1}+B_{n}\pmod{p} \newline B_{n+p^m} & \equiv B_{n+1}+mB_{n}\pmod{p} \newline \end{aligned} $$ ...

笔者在此并不想涉及过多的组合内容，其一，诸如此类的介绍文章在zhihu和csdn已经大量存在；其二，笔者并无自信将斯特林数的知识点吃透，也不觉得自己能够在这种理解程度下，提供什么特别的内容。 ...

有一个$n \times n$的方阵，每个位置上都有一盏灯。每次可以选择一个格子，选定后它与它相邻(有公共边)的格子的亮暗状态都会发生改变。现给定初始方阵中每盏灯的亮暗情况，请输出一个使所有灯都熄灭的方案。 ...

出了一堆水题，结果榜歪得离谱？！害，人都麻了。

问题描述： $$ \sum_{t=0}^{n - 1} \frac{(t+a)!}{t!} = \text{?} $$ 使用wolframalpha，可以见结果为： $$ \sum_{t=0}^{n - 1} \frac{(a + t)!}{t!} = \frac{n \times (a + n)!}{(a + 1) \times n!} $$ 这是一个涉及阶乘求和的问题，但问题同时和分式搅合在一块，比较麻烦。一开始，我回想起高中写的裂项相消，但尝试许久未果，于是便转向求助群里的dalao们。 结果非常amazing啊，瞬间达成共识，裂项，淦就完了。（结果我淦不出来） 眼看dalao们不再关注这个问题，我就顺便逛逛zhihu，准备发个求助帖，然后突然就看见了一个询问$\Gamma$函数欧拉-高斯公式的问题。 众所周知，$\Gamma$函数满足：$\Gamma(n + 1) = n!$，那么这个问题可以换成$\Gamma$函数来写吗？ 转换思路 $$ \sum_{t=1}^{n} \frac{\Gamma(t+a)}{\Gamma{(t)}}=\frac{n\Gamma(a+n+1)}{(a+1)\Gamma{(n+1)}} $$ 搜索过程中，我发现等价的问题在2013年就有人提问过，问题链接。没看下面回答之前还挺高兴的，以为这个问题就到此为止了，结果看完人都不好了，给的居然是归纳证明？（归纳？谁要归纳了？哦，题主啊，那没事了。） 转化成$\Gamma$函数表示后有什么好处呢？个人认为一个很重要的点就是引入了积分。当然，很多时候，无端地引入一些复杂的元素并非明智之举。 积分和求和的顺序转换是解决许多问题的妙手，特别是像这类带着$x^n$的。探索证明时，我发现自己无法将式子转换成$\sum_{t}\Gamma(t)$的形式。那会不会是$\mathrm{B}$函数呢？这两个家伙可是有着莫大的关系！ 要解决这个问题，我们需要先了解$\Gamma$函数和$\mathrm{B}$函数的一些重要性质。 $\Gamma(n + 1) = n\Gamma(n)$ $\mathrm{B}(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}=\int_{0}^{1}{t^{x-1}(1-t)^{y-1}}\mathrm{d} t$ 下面是证明： $$ \begin{aligned} \sum_{t=1}^{n} \frac{\Gamma(t+a)}{\Gamma{(t)}} &= \sum_{t=1}^{n} \frac{\mathrm{B}(t+a,-a)}{\Gamma{(-a)}} \newline &= \frac{1}{\Gamma{(-a)}}\sum_{t=1}^{n}\int_{0}^{1}x^{t+a-1}(1-x)^{-a-1}\mathrm{d} x\newline &= \frac{1}{\Gamma{(-a)}}\int_{0}^{1}\left(\sum_{i=a}^{a+n-1}x^{i}\right)(1-x)^{-a-1}\mathrm{d} x\newline &= \frac{1}{\Gamma{(-a)}}\int_{0}^{1}(x^a-x^{a+n})(1-x)^{-a-2}\mathrm{d} x\newline &= \frac{1}{\Gamma{(-a)}}\left[\mathrm{B}(a+1,-a-1)-\mathrm{B}(a+n+1,-a-1)\right]\newline &= \frac{\Gamma{(-a-1)}}{\Gamma{(-a)}}\times\left[\frac{\Gamma{(a+1)}}{\Gamma{(0)}} - \frac{\Gamma{(a+n+1)}}{\Gamma{(n)}}\right]\newline &= \frac{\Gamma{(a+n+1)}}{(a+1)\Gamma{(n)}} = \frac{n\Gamma{(a+n+1)}}{(a+1)\Gamma{(n+1)}} \end{aligned} $$...

实际上为Beamer(PDF)输出, R语言用得不太熟练还不如直接用LaTex…