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有一个$n \times n$的方阵，每个位置上都有一盏灯。每次可以选择一个格子，选定后它与它相邻(有公共边)的格子的亮暗状态都会发生改变。现给定初始方阵中每盏灯的亮暗情况，请输出一个使所有灯都熄灭的方案。 ...

出了一堆水题，结果榜歪得离谱？！害，人都麻了。

问题描述： $$ \sum_{t=0}^{n - 1} \frac{(t+a)!}{t!} = \text{?} $$ 使用wolframalpha，可以见结果为： $$ \sum_{t=0}^{n - 1} \frac{(a + t)!}{t!} = \frac{n \times (a + n)!}{(a + 1) \times n!} $$ 这是一个涉及阶乘求和的问题，但问题同时和分式搅合在一块，比较麻烦。一开始，我回想起高中写的裂项相消，但尝试许久未果，于是便转向求助群里的dalao们。 结果非常amazing啊，瞬间达成共识，裂项，淦就完了。（结果我淦不出来） 眼看dalao们不再关注这个问题，我就顺便逛逛zhihu，准备发个求助帖，然后突然就看见了一个询问$\Gamma$函数欧拉-高斯公式的问题。 众所周知，$\Gamma$函数满足：$\Gamma(n + 1) = n!$，那么这个问题可以换成$\Gamma$函数来写吗？ 转换思路 $$ \sum_{t=1}^{n} \frac{\Gamma(t+a)}{\Gamma{(t)}}=\frac{n\Gamma(a+n+1)}{(a+1)\Gamma{(n+1)}} $$ 搜索过程中，我发现等价的问题在2013年就有人提问过，问题链接。没看下面回答之前还挺高兴的，以为这个问题就到此为止了，结果看完人都不好了，给的居然是归纳证明？（归纳？谁要归纳了？哦，题主啊，那没事了。） 转化成$\Gamma$函数表示后有什么好处呢？个人认为一个很重要的点就是引入了积分。当然，很多时候，无端地引入一些复杂的元素并非明智之举。 积分和求和的顺序转换是解决许多问题的妙手，特别是像这类带着$x^n$的。探索证明时，我发现自己无法将式子转换成$\sum_{t}\Gamma(t)$的形式。那会不会是$\mathrm{B}$函数呢？这两个家伙可是有着莫大的关系！ 要解决这个问题，我们需要先了解$\Gamma$函数和$\mathrm{B}$函数的一些重要性质。 $\Gamma(n + 1) = n\Gamma(n)$ $\mathrm{B}(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}=\int_{0}^{1}{t^{x-1}(1-t)^{y-1}}\mathrm{d} t$ 下面是证明： $$ \begin{aligned} \sum_{t=1}^{n} \frac{\Gamma(t+a)}{\Gamma{(t)}} &= \sum_{t=1}^{n} \frac{\mathrm{B}(t+a,-a)}{\Gamma{(-a)}} \newline &= \frac{1}{\Gamma{(-a)}}\sum_{t=1}^{n}\int_{0}^{1}x^{t+a-1}(1-x)^{-a-1}\mathrm{d} x\newline &= \frac{1}{\Gamma{(-a)}}\int_{0}^{1}\left(\sum_{i=a}^{a+n-1}x^{i}\right)(1-x)^{-a-1}\mathrm{d} x\newline &= \frac{1}{\Gamma{(-a)}}\int_{0}^{1}(x^a-x^{a+n})(1-x)^{-a-2}\mathrm{d} x\newline &= \frac{1}{\Gamma{(-a)}}\left[\mathrm{B}(a+1,-a-1)-\mathrm{B}(a+n+1,-a-1)\right]\newline &= \frac{\Gamma{(-a-1)}}{\Gamma{(-a)}}\times\left[\frac{\Gamma{(a+1)}}{\Gamma{(0)}} - \frac{\Gamma{(a+n+1)}}{\Gamma{(n)}}\right]\newline &= \frac{\Gamma{(a+n+1)}}{(a+1)\Gamma{(n)}} = \frac{n\Gamma{(a+n+1)}}{(a+1)\Gamma{(n+1)}} \end{aligned} $$...

实际上为Beamer(PDF)输出, R语言用得不太熟练还不如直接用LaTex…

贴个题解，看不懂代码就看不懂吧。没用宏定义我已经尽力了。⌓‿⌓

Warning 代码都是重新写的，所以更新得比较慢，还有部分代码之后再拉上来（最近我考试比较多），如果你们现在需要的话直接私聊我也行。 如果有任何问题，可以直接去群里或者私下找学长学姐问。 代码可以参考，但不要直接照抄，不然看起来是补了题，实则不懂的还是不懂！！！ 编译参数： 1 "g++" -std=c++17 -Wall -Ofast -DLOCAL "ac.cpp" -o "ac.exe" 代码缺省： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #ifdef LOCAL #include "debug.hpp" #else #define debug(...) 42 #endif #define PII pair<int, int> #define vec vector #define str string #define fi first #define se second #define all(a) (a)....

记录一些常用的C++代码技巧（竞赛向），可能会用到比较高的C++版本。

Hash 简介 Hash 的思想很简单，通过某种映射将一个序列或者字符串对应到一个值域较小的值，自然，我们只希望这种映射关系是单射的。 常用的 Hash 函数是一个模意义下的整系数多项式（同余式），例如，对于字符串$S$，定义Hash函数： $$h(S)=\left(\sum_{i=1}^{|S|}\mathrm{base}^{|S| - i} \times S_i \right) \bmod M$$ 那么，何为 Hash 冲突呢？对于另一个等长的串$T$，满足$T \neq S, h(T)=h(T)$，即： $$h(T)-h(S) = \left(\sum_{i=1}^{n}\mathrm{base}^{n - i} \times (T_i - S_i) \right) \equiv 0 \pmod{M}$$ 注意到，我们的 Hash 函数中的$\mathrm{base},M$均为自定义的值，显然影响冲突概率的正好是这两数。如果固定模数$M$，随机基数$\mathrm{base}$来讨论这个问题，则只要看$\mathrm{base}\in[1,M)$有多少为该同余式的解。 $M$ 为素数 $\textrm{Lagrange}$定理 $$f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i\times x^i \equiv 0 \pmod{M}$$ 满足$n>0,a_n \not\equiv 0 \pmod{M},M\in \mathrm{Prime}$，则上同余式最多$n$个解。 证明： 当$n=1$时，一次同余式$a_1x+a_0\equiv 0\pmod{M}$，由于$M\nmid a_1$，显然恰好一个解。 当$n\geq M$结论显然成立。 当$2 \leq n \leq M - 1$时，我们进行反证。假设上式有多余$n$个解（不妨令为$x_0,x_1,\dots,x_k,(k \geq n+1)$，并且$\forall i\neq j, x_i \not\equiv x_j\pmod{M}$） 由于： $$f(x)-f(x_0)\equiv\sum_{i=0}^{k}a_i(x^i-x_0^i)=(x-x_0)g(x)\pmod{M}$$ 容易知道，此时的$g(x)$为一个$n-1$次多项式，且$[x^{n-1}]g(x)=a_n\not\equiv 0\pmod{M}$。...

卷积积分/离散卷积 多项式卷积 一般来说，多项式卷积表示的就是多项式乘法对应项的系数 $$ c[k] = \sum_{i+j=k}(a[i] \times b[j]) $$ FFT FFT 三次变两次 由于复数平方满足下式： $$ z = a + bj \rightarrow z^2=(a^2 + b^2) + 2abj $$ 我们在所用的复数数组，其实部和虚部分别为两多项式的系数，然后平方取虚部的一半即可得到答案，此时只要一次DFT和一次IDFT。 NTT $$ c[k] = \sum_{i+j=k}(a[i] \times b[j]) \bmod P $$ $P=r\times 2^k+1$为一个素数，$g$为模$P$的原根。 MTT 任意模数NTT，考虑的是没有原根的情况。 异或卷积 $$ c[k] = \sum_{i \oplus j = k}(a[i] \times b[j]) $$ FWT 或卷积/与卷积 OR $$ c[k] = \sum_{i | j = k}(a[i] \times b[j]) $$ AND $$ c[k] = \sum_{i \& j = k}(a[i] \times b[j]) $$...

true Update at 2021.12.14 B题 更新一份Hack数据构造代码 学弟学妹们明年带带 ...