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笔者在此并不想涉及过多的组合内容，其一，诸如此类的介绍文章在zhihu和csdn已经大量存在；其二，笔者并无自信将斯特林数的知识点吃透，也不觉得自己能够在这种理解程度下，提供什么特别的内容。 但是，本人在Google检索的过程中却鲜少见Stirling数取模小素数的内容，所以在基本明白之后，在此记录。 关于Stirling数的组合性质，推荐繁凡的《小学生都能看懂的三类斯特林数从入门到升天教程 》（含性质完整证明、斯特林反演、拉赫数） 关于斯特林数取模，只检索到 《第一类Stirling数的Lucas定理》 （不知道为啥是B站，好迷，公式排版不太能看懂） 定义 以及 前置知识 将 $n$ 个元素分成 $k$ 组，每组内部进行环排列，这样的方案数称为无符号第一类斯特林数，记作 $c(n, k)$。 可以发现，$c(n, k)$ 存在如下的递推关系： $$c(n, k) = (n − 1)c(n − 1, k) + c(n − 1, k − 1)$$ 定义有符号第一类斯特林数 $s(n, k) = (−1)^{n−k}c(n, k)$，则有 $$(x)_ {n} = x(x − 1) \dots(x − n + 1) = \sum_{k=0}^{n} s(n,k) x^k$$ 将 $n$ 个元素分成 $k$ 个非空集合，集合之间不计顺序，这样的方案数称为第二类斯特林数，记作 $S(n, k)$。 可以发现，$S(n, k)$ 存在如下的递推关系： $$S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + kS(n − 1, k)$$...

有一个$n \times n$的方阵，每个位置上都有一盏灯。每次可以选择一个格子，选定后它与它相邻(有公共边)的格子的亮暗状态都会发生改变。现给定初始方阵中每盏灯的亮暗情况，请输出一个使所有灯都熄灭的方案。 该问题在wikipedia上的词条 Lights Out(game)，尚未有中文页。 如有读者想验证自己的程序，可在LibreOJ提交，LibreOJ #6243. 关灯问题 。 初探 如果你有线性代数的相关知识储备，相信你此时已经意识到，该问题可以做如下的转换： 有$n^2$个开关，一共控制了$n^2$盏灯。同时，我们也已知每个开关所控制的灯集合。所以，只要将方程（一共$n^2$个，变量为每个开关的状态）列出，解决这个线性方程组便解决了这道题。 至于代码实现，不过是一个Gaussian elimination，写成记录异或路径的线性基也可，这个应该不是问题。甚至，对于某些原题自动机，可能已经找到了原题。 问题到这似乎已经解决，但是时间复杂度呢？ 无论选择以上哪种实现，时间复杂度都在妥妥的$\mathcal{O}(\frac{n^6}{\omega})$。 $n$很小时，或许能够在$1s$内解决。例如这题，gym102920 J。 一个或许可行的方案 怎么办呢？无脑冲高斯消元似乎是不可能的了，那么，可以优化吗？于是，你开始注意到，这个系数矩阵似乎有点意思啊！（以$n=5$为例） $$ \left( \begin{matrix} C & I & O & O & O \newline I & C & I & O & O \newline O & I & C & I & O \newline O & O & I & C & I \newline O & O & O & I & C \newline \end{matrix} \right) $$...

写点题外话 出题的时候： “大水题，大铁牌题” “别出太难了，到时候大家都不会写，跟没出一样。” “这场是不是太简单了点，感觉难度都没选拔赛高啊？” “预计rank1在8题左右，其他人写个4，5题的样子。” “20的应该都见过这些题（指字典树和线段树这两题），感觉要被过穿啊！” “简单点好啊，大家多过点题，开心一点。” 然后…… “怎么有人搁那挂机啊？” “为什么不关同步流？你在干什么啊？！” “看不懂。” “训练了啥？” “我麻了。” “这个榜是不是有点惨啊。” “快看看其它题，快看看其它题……” “hy，你的茶颜没了” 太惨了，不过前面的几位同学打得还可以，在我预期的范围内。其他人要好好加油啊，你们那刷题量也太可怜了，ACM又不是纯理论，是要求代码实现的！暑训没刷个3，4百题，感觉也没什么意义。 给个查刷题数目的网站，都去看看自己。还有一点就是，为了冲题量而去刷水题没有任何意义。 OJ Analyzer CF 刷题类型分析 编译参数 1 -std=c++17 -Wall -O2 -DLOCAL -ID:\Document\repos\Code-of-ACM\template\debug\ 如需运行以下代码，编译环境至少需要c++14，最好是c++17。 以下代码均为个人验题使用的代码，不代表出题人的std写法。在语法上，除了结构化声明和结构化绑定为c++17标准、复数字面量1i从c++14才开始有定义，其它用到的语法和函数均在c++11标准内。另，使用了GCC的built-in函数，不保证其它编译器能通过编译。 代码缺省 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; using ll = long long; #define all(a) begin(a), end(a) #ifdef LOCAL #include "debug....

问题描述： $$ \sum_{t=0}^{n - 1} \frac{(t+a)!}{t!} = \text{?} $$ 使用wolframalpha，可以见结果为： $$ \sum_{t=0}^{n - 1} \frac{(a + t)!}{t!} = \frac{n \times (a + n)!}{(a + 1) \times n!} $$ 这是一个涉及阶乘求和的问题，但问题同时和分式搅合在一块，比较麻烦。一开始，我回想起高中写的裂项相消，但尝试许久未果，于是便转向求助群里的dalao们。 结果非常amazing啊，瞬间达成共识，裂项，淦就完了。（结果我淦不出来） 眼看dalao们不再关注这个问题，我就顺便逛逛zhihu，准备发个求助帖，然后突然就看见了一个询问$\Gamma$函数欧拉-高斯公式的问题。 众所周知，$\Gamma$函数满足：$\Gamma(n + 1) = n!$，那么这个问题可以换成$\Gamma$函数来写吗？ 转换思路 $$ \sum_{t=1}^{n} \frac{\Gamma(t+a)}{\Gamma{(t)}}=\frac{n\Gamma(a+n+1)}{(a+1)\Gamma{(n+1)}} $$ 搜索过程中，我发现等价的问题在2013年就有人提问过，问题链接。没看下面回答之前还挺高兴的，以为这个问题就到此为止了，结果看完人都不好了，给的居然是归纳证明？（归纳？谁要归纳了？哦，题主啊，那没事了。） 转化成$\Gamma$函数表示后有什么好处呢？个人认为一个很重要的点就是引入了积分。当然，很多时候，无端地引入一些复杂的元素并非明智之举。 积分和求和的顺序转换是解决许多问题的妙手，特别是像这类带着$x^n$的。探索证明时，我发现自己无法将式子转换成$\sum_{t}\Gamma(t)$的形式。那会不会是$\mathrm{B}$函数呢？这两个家伙可是有着莫大的关系！ 要解决这个问题，我们需要先了解$\Gamma$函数和$\mathrm{B}$函数的一些重要性质。 $\Gamma(n + 1) = n\Gamma(n)$ $\mathrm{B}(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}=\int_{0}^{1}{t^{x-1}(1-t)^{y-1}}\mathrm{d} t$ 下面是证明： $$ \begin{aligned} \sum_{t=1}^{n} \frac{\Gamma(t+a)}{\Gamma{(t)}} &= \sum_{t=1}^{n} \frac{\mathrm{B}(t+a,-a)}{\Gamma{(-a)}} \newline &= \frac{1}{\Gamma{(-a)}}\sum_{t=1}^{n}\int_{0}^{1}x^{t+a-1}(1-x)^{-a-1}\mathrm{d} x\newline &= \frac{1}{\Gamma{(-a)}}\int_{0}^{1}\left(\sum_{i=a}^{a+n-1}x^{i}\right)(1-x)^{-a-1}\mathrm{d} x\newline &= \frac{1}{\Gamma{(-a)}}\int_{0}^{1}(x^a-x^{a+n})(1-x)^{-a-2}\mathrm{d} x\newline &= \frac{1}{\Gamma{(-a)}}\left[\mathrm{B}(a+1,-a-1)-\mathrm{B}(a+n+1,-a-1)\right]\newline &= \frac{\Gamma{(-a-1)}}{\Gamma{(-a)}}\times\left[\frac{\Gamma{(a+1)}}{\Gamma{(0)}} - \frac{\Gamma{(a+n+1)}}{\Gamma{(n)}}\right]\newline &= \frac{\Gamma{(a+n+1)}}{(a+1)\Gamma{(n)}} = \frac{n\Gamma{(a+n+1)}}{(a+1)\Gamma{(n+1)}} \end{aligned} $$...

贴个题解，看不懂代码就看不懂吧。没用宏定义我已经尽力了。⌓‿⌓

Warning 代码都是重新写的，所以更新得比较慢，还有部分代码之后再拉上来（最近我考试比较多），如果你们现在需要的话直接私聊我也行。 如果有任何问题，可以直接去群里或者私下找学长学姐问。 代码可以参考，但不要直接照抄，不然看起来是补了题，实则不懂的还是不懂！！！ 编译参数： 1 "g++" -std=c++17 -Wall -Ofast -DLOCAL "ac.cpp" -o "ac.exe" 代码缺省： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #ifdef LOCAL #include "debug.hpp" #else #define debug(...) 42 #endif #define PII pair<int, int> #define vec vector #define str string #define fi first #define se second #define all(a) (a)....

记录一些常用的C++代码技巧（竞赛向），可能会用到比较高的C++版本。

Hash 简介 Hash 的思想很简单，通过某种映射将一个序列或者字符串对应到一个值域较小的值，自然，我们只希望这种映射关系是单射的。 常用的 Hash 函数是一个模意义下的整系数多项式（同余式），例如，对于字符串$S$，定义Hash函数： $$h(S)=\left(\sum_{i=1}^{|S|}\mathrm{base}^{|S| - i} \times S_i \right) \bmod M$$ 那么，何为 Hash 冲突呢？对于另一个等长的串$T$，满足$T \neq S, h(T)=h(T)$，即： $$h(T)-h(S) = \left(\sum_{i=1}^{n}\mathrm{base}^{n - i} \times (T_i - S_i) \right) \equiv 0 \pmod{M}$$ 注意到，我们的 Hash 函数中的$\mathrm{base},M$均为自定义的值，显然影响冲突概率的正好是这两数。如果固定模数$M$，随机基数$\mathrm{base}$来讨论这个问题，则只要看$\mathrm{base}\in[1,M)$有多少为该同余式的解。 $M$ 为素数 $\textrm{Lagrange}$定理 $$f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i\times x^i \equiv 0 \pmod{M}$$ 满足$n>0,a_n \not\equiv 0 \pmod{M},M\in \mathrm{Prime}$，则上同余式最多$n$个解。 证明： 当$n=1$时，一次同余式$a_1x+a_0\equiv 0\pmod{M}$，由于$M\nmid a_1$，显然恰好一个解。 当$n\geq M$结论显然成立。 当$2 \leq n \leq M - 1$时，我们进行反证。假设上式有多余$n$个解（不妨令为$x_0,x_1,\dots,x_k,(k \geq n+1)$，并且$\forall i\neq j, x_i \not\equiv x_j\pmod{M}$） 由于： $$f(x)-f(x_0)\equiv\sum_{i=0}^{k}a_i(x^i-x_0^i)=(x-x_0)g(x)\pmod{M}$$ 容易知道，此时的$g(x)$为一个$n-1$次多项式，且$[x^{n-1}]g(x)=a_n\not\equiv 0\pmod{M}$。...

卷积积分/离散卷积 多项式卷积 一般来说，多项式卷积表示的就是多项式乘法对应项的系数 $$ c[k] = \sum_{i+j=k}(a[i] \times b[j]) $$ FFT FFT 三次变两次 由于复数平方满足下式： $$ z = a + bj \rightarrow z^2=(a^2 + b^2) + 2abj $$ 我们在所用的复数数组，其实部和虚部分别为两多项式的系数，然后平方取虚部的一半即可得到答案，此时只要一次DFT和一次IDFT。 NTT $$ c[k] = \sum_{i+j=k}(a[i] \times b[j]) \bmod P $$ $P=r\times 2^k+1$为一个素数，$g$为模$P$的原根。 MTT 任意模数NTT，考虑的是没有原根的情况。 异或卷积 $$ c[k] = \sum_{i \oplus j = k}(a[i] \times b[j]) $$ FWT 或卷积/与卷积 OR $$ c[k] = \sum_{i | j = k}(a[i] \times b[j]) $$ AND $$ c[k] = \sum_{i \& j = k}(a[i] \times b[j]) $$...

Changelog Update at 2021.12.14 B题 更新一份Hack数据构造代码 学弟学妹们明年带带 我永远喜欢樱岛麻衣（思维） $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 之间的曼哈顿距离为 $d=|x_1-x_2|+|y_1+y_2|$ ，即两点各方向上坐标之差的绝对值的和。 如果使得其中一点为零点 $(0,0)$ ，另一点为 $(x,y)$ ，那么式子简化成 $d=|x|+|y|$ ，在坐标平面上的图像如下： 我们至少需要两条线才能保证确定麻衣学姐的位置，即在方格中两幅图像只具有一个交点时。（可以选择同一条边的两端点） 但是要注意一个特殊情况，由于我们待求的是整点，对于 $n=1$ 或 $m=1$ 的情况，只需要一个点就能确定； 但同时，当 $n=1$ 且 $m=1$ 时，方格中只有一个整点，故不需要选择点，答案为 $0$ 。 lq的简单题（思维，map） 数组的平均数为 $Average = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i$ ，如果删除两数后平均数依旧保持不变，这说明，删去的两个数的平均数和数组的平均数相等，则它们的和为 $2\times Average$ 。所以，问题转变成求解有多少和为 $2\times Average$ 的不同数对。 我们只要枚举其中一个数，看看剩余数中值为 $2\times Average - a_i$ 的数的个数，累计求和就好了（注意不要重复计算）。 使用c++的同学这时候可以直接上map了。（可能是double在此处的精度足够高，或着数据太水，map<double, int>确实能过） 但除此之外别无他法了吗？考虑到 $a_i$ 均为整数，那么$2\times Average$ 若是不为整数，则必然无解；反之，则原先的浮点误差就不复存在了，使用数组cnt[]记录个数的方案就可行了（记得初始化和开2倍的空间）。 下面的代码用于Hack赛中某位同学的代码。随机数据确实没考虑到使用map<int, int>的key值溢出问题（变成long long后强制转换到int）。 Hack思路 32位整值溢出可以理解为在模 $2^{32}$ 意义下同余，那么代码实际求值会包括一部分满足下面式子的数对 $$ n\times(2\times avg - a_i - a_j)\equiv 0 \pmod{2^{32}} $$...